NUEVA LEY MATEMÁTICA DE LAS DISTANCIAS PLANETARIAS

Consideraciones sobre la ley de Titius-Bode

Texto completo.

1. INTRODUCCIÓN:

Se han propuesto hasta ahora fórmulas diversas, intentando hallar una ley que permita descubrir planetas más allá de Plutón. Es el caso de Titius-Bode, cuya fórmula matemática es de sobra conocida, y que no dio un resultado válido para el cálculo de las distancias de los planetas más allá de Urano. Hay también fórmulas empíricas, basadas en realidades físicas observables, como las perturbaciones gravitacionales, que sólo pueden determinar la distancia a la que se encuentra un hipotético planeta, aún no descubierto. Este es el caso del Profesor Sven-Ingmar Ragnarsson, publicado en la revista científica Astronomy and astrophys, que basado en perturbaciones gravitacionales sobre un determinado planeta, considera probable la existencia de un hipotético planeta (X) a una distancia de 48 (+,-) 1 UA.

Mediante el procedimiento matemático que presento en este trabajo, basado en la ecuación de una recta, se comprueba que el hipotético planeta (X) se encuentra a la distancia del Sol de 49.407 UA.

Hay que tener presente que el Profesor Sven-Ingmar Ragnarsson ha corregido las distancias reales de los semiejes mayores de los planetas para este cálculo; en mi trabajo, sólo he tenido en cuenta las distancias reales oficialmente reconocidas en la actualidad.

Una fórmula o ley matemática general que relacione las distancias de todos los planetas del Sistema Solar, tanto los descubiertos hasta hoy, como los aún por descubrir, creo que no existe en este momento.

Este trabajo consiste en la búsqueda de esa fórmula general. Para ello, en un sistema de ejes de coordenadas, se escriben las posiciones de los planetas en el eje de abscisas X, y las distancias reales de sus semiejes mayores en el eje de ordenadas Y. Las coordenadas de los puntos (x,y) determinan sobre el plano una línea recta, cuya ecuación resuelve el problema de las distancias planetarias correspondientes a los planetas transplutonianos.

2. RELACIÓN DE LOS PLANETAS EN EJES DE COORDENADAS.

Las distancias planetarias que empleamos en este estudio son las siguientes:

Tabla 1. Distancias reales semiejes mayores.

Mercurio = 0.387 UAJúpiter = 5.203 UA
Venus = 0.723 UASaturno = 9.539 UA
Tierra = 1 UAUrano = 19.182 UA
Marte = 1.532 UANeptuno = 30.057 UA
Ceres = 2.739 UAPlutón 39.440 UA

1. Representemos en ejes cartesianos los planetas de nuestro Sistema Solar. Sobre el eje de abscisas, posicionemos los planetas ordenadamente desde Mercurio a Plutón; en el eje de ordenadas, escribamos las distancias de sus semiejes mayores. Señalemos sus puntos de coordenadas (x, y) sobre el plano, situando sobre ellos el nombre del planeta que le corresponde.
2. Sobre estos ejes, tracemos ahora una elipse con el vértice en el punto de coordenadas (0.387, 0.387), correspondiente a la posición del planeta Mercurio, y el extremo de su semieje menor en el punto de coordenadas (x,y), correspondiente al planeta Saturno.

         

Semieje menor:
x = 6;
semieje mayor:
y = (9.539 – 0.387) = 9.152;
distancia focal:
(9.152 – 2.2412) x 2 = 13.8216

Una vez trazada esta elipse, podemos observar que los planetas Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Ceres, Júpiter y Saturno se encuentran sobre esta línea elíptica, o muy cerca de ella.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

Elipse correspondiente a los valores de Saturno:

Comprobamos que los puntos de coordenadas ( x, y ), correspondientes a la posición de los planetas Saturno, Urano, Neptuno y Plutón, pertenecen a una línea recta. Estos puntos de coordenadas son también los extremos de los semiejes menores de las elipses que trazamos en este trabajo para su demostración. 

Podemos observarlo en esta gráfica:

Fig. 1. Elipse correspondiente al planeta Saturno, y recta cuya ecuación resuelve el problema de las distancias planetarias de los planetas transplutonianos.

De la misma forma que con el planeta Saturno, trazamos ahora las elipses correspondientes a los planetas Urano, Neptuno y Plutón, con vértices en el punto de coordenadas correspondiente a la posición del planeta Mercurio: (0.387, 0.387), y el extremo de sus semiejes menores en los puntos de coordenadas (x, y) correspondientes a dichos planetas.


Elipse correspondiente a los valores de Urano:

Elipse correspondiente a los valores de Neptuno:

Elipse correspondiente a los valores de Plutón:

En la siguiente gráfica, podemos observar estas elipses y la recta que une los puntos de coordenadas (x, y), correspondientes a los semiejes menores de las elipses de los planetas Saturno, Urano, Neptuno y Plutón.

Por extensión, a esta recta pertenecerán también los puntos de coordenadas (x, y), de los planetas situados más allá de Plutón.

Fig. 2. Elipses correspondientes a los puntos de coordenadas de los planetas Saturno, Urano, Neptuno, Plutón, y a los hipotéticos planetas X1, X2.

Tal como se demuestra en este trabajo matemático, en nuestro Sistema Solar, las distancias planetarias no se dan al azar, sino guardando relación elíptica.

Si trazamos una recta desde el punto de coordenadas (x, y) correspondiente al extremo del semieje menor de la elipse del planeta Saturno, hasta la del planeta Plutón, las coordenadas (x, y), correspondientes a los extremos de los semiejes menores de las elipses de los planetas Urano y Neptuno pertenecen a esta recta. De esto se deduce, que las coordenadas (x, y) correspondientes a los extremos de los semiejes menores de las elipses de los planetas Saturno, Urano, Neptuno, Plutón, y las de cualquieras otros hipotéticos planetas de nuestro Sistema Solar, aún no descubiertos, pertenecen a dicha recta.

ECUACIÓN DE LA RECTA:

Aplicando esta ecuación a un hipotético planeta más allá de Plutón, mediante la aplicación de la siguiente ecuación hallaríamos la distancia real del semieje mayor del hipotético planeta X.

Cálculo de la distancia del hipotético planeta ( X=10), siguiente en orden a Plutón:

De esta misma forma, podríamos obtener la distancia de cualquier otro planeta a partir de Plutón, basta para ello con cambiar algunos datos. Lo sorprendente de esta Ley, es que se cumple con los satélites de los propios planetas de nuestro Sistema Solar.
Consideremos los planetas Júpiter y Saturno, y verifiquemos si sus lunas cumplen con esta misma Ley.

Distancias entre los satélites y sus respectivos planetas, en miles de kilómetros.

Planeta Júpiter:Planeta Saturno:
Metis 128
Leda 11.094
Adrastea 129
Himalia 11.480
Amaltea 181
Lysitea 11.720
Thebe 222
Elara 11.737
Io 422
Ananke 21.200
Europa 671
Carme 22.600
Ganimedes 1.070,4
Pasifae 23.500
Calixto 1.883,7 
Sinope 23.700		Pan 133 
Telesto 294
Atlas 133
Calypso 294
Prometeo 137
Dione 377
Pandora 140
Helena 377
Epimeteo 151
Rhea 527
Jano 151
Titán 1.222
Mimas 185
Japeto 1.481
Encelado 238
Hiperión 3.561
Tetis 294 
Febe 12.952

Representemos en ejes de coordenadas cartesianas los satélites del planeta Júpiter, de la misma forma que hicimos con los planetas del Sistema Solar.

Tracemos la elipse correspondiente al satélite Io, con los siguientes valores.

Ecuación de la elipse de Io:

Distancia focal: 5,88

Los satélites Metis, Adrastea, Amaltea, y Thebe se encuentran en la curva cónica; los satélites Io, Europa, Ganímedes y Calixto se encuentran representados en la misma recta.

Ecuación de la recta: 

De esta forma hallaríamos el hipotético satélite número 11, siguiente en el orden a Calixto.

La elipse correspondiente a cada satélite tiene su vértice en el punto de coordenada (x, y) = (128, 128), correspondiente a los valores del satélite Metis, el más cercano al planeta Júpiter.

De la misma forma que con el planeta Júpiter, procedemos ahora con el planeta Saturno. Una vez representados todos sus satélites en los ejes de coordenadas, trazamos una elipse correspondiente al satélite

Rhea, con vértice en el punto de coordenadas (x ,y) = (133, 133),correspondiente a los satélites Pan y Atlas, ambos los más cercanos a Saturno.

Ecuación de la elipse:

Distancia focal: 13,924998

Podemos comprobar que en la curva de la elipse trazada con los valores de Rhea se encuentran 13 satélites, cuyos nombres son: Pan, Atlas, Prometeo, Pandora, Epimeteo, Jano, Mimas, Encelado, Tetis, Telesto, Calipso, Dione y Elena.

En la recta se encuentran los satélites Rhea, Titán, Japeto, Hiperión y Febe.

Ecuación de la recta:

De esta forma hallaríamos el satélite número 14, siguiente en el orden a Japeto.

CONSIDERACIONES SOBRE LA LEY DE TITIUS-BODE

LEY DE TITIUS-BODE:

La fórmula de la Ley de Titius es:

Esta ley debe basarse, según mi trabajo, en una sucesión de elipses trazadas en ejes de coordenadas cartesianas, con vértices en el punto de coordenadas correspondiente a la distancia que Titius daba al planeta Mercurio: (4, 4). PROCEDIMIENTO:

Sobre unos ejes de coordenadas cartesianas, tracemos las elipses que Titius debió trazar, situando el vértice de todas ellas en el mismo punto de coordenadas (4,4), lugar de posición del planeta Mercurio y distancia de este planeta al Sol, según Titius.

Las potencias representadas en el eje de abscisas serían éstas:

Mercurio = 0Ceres = 23Neptuno = 27
Venus = 20Júpiter = 24Plutón = 28
Tierra = 21Saturno = 25
Marte = 22Urano = 26

Al situar la posición de Mercurio en el vértice de la elipse, su valor es cero (0), y no le afecta la potencia de base 2.

Titius consideraba que Mercurio estaba a la distancia 4 del Sol, por lo que su valor sería (0, 4) = ( valores correspondientes al vértice de la elipse y al eje de ordenadas).

El valor del planeta Venus, que según Titius-Bode es 7, queda dividido en dos sumandos: (3 + 4); el segundo de ellos (4), es la distancia de Mercurio al Sol; y el primero (3) es la diferencia entre el valor de las distancias al Sol de Venus y Mercurio: (7 – 4) = 3.

EL ENIGMÁTICO NÚMERO 3 ,DE LA LEY DE TITIUS, ES LA DIFERENCIA ENTRE LOS VALORES DE LAS DISTANCIAS AL SOL DE VENUS Y MERCURIO: (7-4) = 3, QUE ES LA PENDIENTE DE LA RECTA DE SU LEY.

Potencias de base 2 de la Ley de Titius:

Mercurio = 0Ceres = 23= 8 Neptuno = 27= 128
Venus = 20= 1Júpiter =24= 16Plutón = 28= 256
Tierra = 21= 2Saturno = 25= 32
Marte = 22= 4Urano = 26= 64

El valor de posición de cada planeta en el eje de abscisas viene determinado por el valor de la potencia de base 2 que a cada planeta corresponde.

La fórmula de Titius-Bode, que tanta admiración ha despertado, se basa en la sucesión de una serie de elipses trazadas sobre ejes de coordenadas cartesianas, todas ellas con vértices en el mismo origen: (4, 4), cuyos semiejes mayores determinan las distancias planetarias al sumarles el valor 4, distancia de Mercurio al Sol, según Titius.

Titius dejó escrita su famosa e indescifrable fórmula a pie de página de un libro de Ciencias, que tradujo por encargo, sin preocuparse de divulgarla en una revista astronómica de la época. Este lapsu hizo que el astrónomo alemán Bode la publicara a su nombre, siendo conocida en la actualidad como Ley de Titius-Bode.

El error de Titius consistió en considerar que esta fórmula era aplicable a todos los planetas del Sistema solar. De haber vivido en estos momentos, en los que conocemos las distancias a la que se encuentran los planetas descubiertos hasta hoy, tal vez hubiera modificado su fórmula.

Titius creyó que el valor 2, base de la serie de potencias que propuso en su trabajo, era una constante válida para hallar las distancias de todos los planetas del Sistema Solar. Con mi trabajo, trato de probar que este valor es excesivo y no constante, y es el que incrementa el error en el cálculo de las distancias planetarias, a medida que crece el exponente de esta serie de potencias.

Esto permite que el error en el cálculo de las distancias planetarias sea cada vez mayor. Así las distancias asignadas por Titius a los planetas más alejados del Sistema Solar, Neptuno y Plutón, son excesivas; y mucho más lo serían si se aplicara su Ley a los planetas transplutonianos.

La fórmula: 

se emplea para reducir a UA.

Tabla 2. Comparación de la Ley de Titius-Bodes con la “NUEVA LEY MATEMÁTICA DE LAS DISTANCIAS PLANETARIAS” en forma de potencias, tal como hace Titius.
Tratemos de expresar los valores reales de las distancias planetarias de la “NUEVA LEY MATEMÁTICA DE LAS DISTANCIAS PLANETARIAS” de la misma forma en que lo hizo Titius, por medio de potencias, usando como base de éstas el valor (x).

Ejemplo. El semieje mayor del planeta Saturno mide 9.539 UA, y deseamos expresar este valor conforme a la expresión matemática de Titius-Bode, es decir, por medio de una potencia de base (x) y exponente 5: numeración del planeta Saturno en el eje de abscisas, multiplicada por el valor 0.336: diferencia entre los valores de Venus y Mercurio, sumando a este producto el valor 0.387 UA: valor real de la distancia de Mercurio al Sol.
Procedemos de la forma siguiente:

A la distancia real del semieje mayor del planeta Saturno, restamos la distancia real de Mercurio. Esta diferencia la dividiremos por 0.336, y al cociente obtenido le extraeremos la raíz quinta, que nos dará el valor de la base de la potencia: x.

De la misma forma operaríamos con las distancias de los demás planetas, comprobando en todos los casos, que las bases de las potencias (x) son siempre distintas entre sí y menores que 2.
La comparación de la Ley de Titius con “NUEVA LEY MATEMÁTICA DE LAS DISTANCIAS PLANETARIAS” en forma de potencias de base (x), demuestra que estas bases son siempre distintas entre sí, e inferiores a 2

Ley de Titius-Bode“N. L. M. D. L. D. P” con potencias
MercurioMercurio
(0 * 0.3) + 0.4 = 0.4 UA(x * 0.336) + 0.387 = 0.387 UA
x = 0
VenusVenus
(20* 0.3) + 0.4 = 0.7(x0* 0.336) + 0.387 = 0.723 UA      
x = 1
TierraTierra
(21* 0.3) + 0.4 = 1 UA(x1* 0.336) + 0.387 = 1 UA            
x = 1.824447
MarteMarte
(22* 0.3) + 0. 4 = 1.6 UA(x2* 0.336) + 0.387 = 1.524 UA      
x = 1.839545
CeresCeres
(23* 0.3) + 0.4 = 2.8 UA(x3* 0.336) + 0.387 = 2.739 UA
      x = 1.912931183
JúpiterJúpiter
(24* 0.3) + 0.4 = 5.2 UA(x4* 0.336) + 0.387 = 5.203 UA
      x = 1.94574893
SaturnoSaturno
(25* 0.3) + 0.4 = 10 UA(x5* 0.336) + 0.387 = 9.539 UA
      x = 1.9365
UranoUrano
(26* 0.3) + 0.4 = 19.6 UA(x6* 0.336) + 0.387 = 19.182 UA
      x = 1.955617172
NeptunoNeptuno
(27* 0.3) + 0.4 = 38.8 UA(x7* 0.336) + 0.387 = 30.057 UA      
x = 1.8966
PlutónPlutón
(28* 0.3) + 0.4 = 77.2 UA(x8* 0.336) + 0.387 = 39.440 UA      
x = 1.812025857
Considero que el trabajo de Titius no fue una mera casualidad, sino un estudio concienzudo, que toma como base la primera Ley de Johannes Kepler.
Su fórmula no resuelve el cálculo de las distancias planetarias porque las bases (x) de las potencias, que mostramos en esta tabla comparativa, son menores que 2 y variables entre sí.

Los valores de Titius-Bode expresados en UA son los siguientes:

Mercurio = 0’4Ceres = 2’8Neptuno = 38’4
Venus = 0’7Júpiter = 5’2Plutón = 77’2
Tierra = 1Saturno = 10
Marte = 1’6Urano = 19’6

Gráficas con la representación del trabajo de Titius-Bode

ECUACIÓN DE LAS ELIPSES EN LAS QUE SE BASA LA LEY DE TITIUS-BODE

Venus

Tierra

Marte

Ceres

Saturno

Urano

Neptuno

Plutón

ECUACIÓN DE LA RECTA DE LA LEY DE TITIUS-BODE

3. ESQUEMA DE LA HIPÓTESIS

(LAS DISTANCIAS PLANETARIAS EN NUESTRO SISTEMA SOLAR NO LAS DETERMINA EL AZAR, ESTÁN RELACIONADAS ENTRE SÍ DE FORMA ELÍPTICA, LO QUE NOS PERMITE HALLAR UNA LEY QUE NOS LLEVE AL DESCUBRIMIENTO DE NUEVOS PLANETAS Y SATÉLITES).

Se prueba matemáticamente en el plano del papel milimetrado y en el trabajo del ordenador, que los puntos de coordenadas que se corresponden con la posición de los planetas Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Ceres y Júpiter pertenecen a la elipse de Saturno.

Así mismo, se prueba que los puntos de coordenadas relativos a la posición de los planetas Saturno, Urano, Neptuno y Plutón se encuentran en una línea recta.

Esto mismo sucede con los satélites de sus planetas.

4. EXACTITUD DE LA NUEVA FÓRMULA

En primer lugar, hemos de considerar el grado de exactitud de las distancias planetarias que se han tenido presente en este trabajo, que son las distancias reales de los semiejes mayores de los planetas de nuestro Sistema solar.

A medida que el cálculo de las distancias planetarias, en revisiones posteriores, se aproxime más a la realidad, este trabajo deberá ser corregido, pero sin cambiar su fórmula.

5. DISCUSIÓN

Esta nueva fórmula debe ser sometida a prueba por los astrofísicos a fin de encontrar nuevos planetas, tanto en el cinturón de Kuiper, como más allá de éste, en los confines del Sistema Solar.

Considero que esta fórmula está bien apoyada matemáticamente. No obstante, no podemos considerarla válida hasta que los nuevos descubrimientos la confirmen.

6. CONCLUSIÓN

Podemos encontrar nuevos planetas y satélites en nuestro Sistema Solar con la aplicación de esta Ley general que propongo en este trabajo.
LA DISTANCIA REAL DEL SEMIEJE MAYOR DEL HIPOTÉTICO PLANETA (X = 10) ES 49.407 UA.

Para buscar un nuevo planeta a partir de este hipotético planeta X, se requiere modificar la fórmula de la manera siguiente:

De esta misma forma, procederemos para calcular la distancia a la que se encuentra cualquier otro planeta. Basta con escribir su valor de posición en el eje de abscisas X, en el denominador del primer quebrado; y en el denominador del segundo quebrado, la distancia del planeta que le precede en el eje de ordenadas Y.

Los planetas extrasolares tal vez estén regidos por las mismas leyes que los de nuestro Sistema solar, como partes integrantes del mismo Universo; por lo que esta fórmula podría aplicarse también a Sistemas Solares distintos al nuestro.

REFERENCIAS

  • Lecturas diversas de la ley de Titius-Bode. Lecturas de trabajos sobre perturbaciones gravitacionales en el Sistema solar.
  • Universo sin fin
  • López, Cayetano
  • Catedrátido de Física de la Universidad Autónoma de Madrid
  • Editorial Taurus 1.999
  • Ragnarsson, Sven-Ingmar
  • Planetary distances: a new simplified model
  • Astronomy and astrophys
  • 301, 609-612 (1.995)
  • Este Boletín Astrofísico se encuentra en la Universidad Autónoma de Madrid
  • Sven-Ingmar Ragnarsson, en su trabajo basado en perturbaciones gravitacionales publicado en este número, coincide con mi estudio, estimando para un hipotético planeta X, 48 UA, con error (+, -): 1UA.

Mi trabajo, basado en la ecuación de la recta antes citada, demuestra que un hipotético planeta X se encontraría a 49’407 UA.

Hay que tener presente que Sven-Ingmar Ragnarsson corrige las distancias planetarias, y si mi trabajo hubiera tenido en cuenta estas correcciónes, el resultado habría sido más aproximado: 48’8 UA, lo que hubiera estado exactamente dentro de sus cálculos.

FRANCISCA BELLO BUSTO

Contacto: francisbell@nodo50.org




Estos trabajos están inscritos en el Registro Territorial de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid a mi nombre: Francisca Bello Bustos.

Primera parte: Núm. Expediente: 12/RTPI-009146/2004 Ref. Documento: 12/055919.4/04 Núm. Solicitud: M-008799/2004 Fecha: 13 de Diciembre de 2004 Título: Nueva Ley Matemática de las Distancias Planetarias Autora: Francisca Bello BustosSegunda parte: Núm. Expediente: 12/RTPI-000097/2005 Ref. Documento: 12/000284.8/05 Núm. Solicitud: M-000092/2005 Fecha 5 Enero de 2005 Título: Nueva Ley Matemática de las Distancias Planetarias. Autora: Francisca Bello Bustos

Mail: francisbell@nodo50.org

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